แก้โจทย์ {l}{19x+3y=1}{19x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$19x+3y=1$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$19x=-3y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{19} ด้วย -3y+1

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

ทดแทน \frac{-3y+1}{19} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 19x+4y=0

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

คูณ 19 ด้วย \frac{-3y+1}{19}

$$-3y+1+4y=0$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 4y

$$y+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

คูณ -\frac{3}{19} ด้วย -1

$$x=\frac{3+1}{19}$$

เพิ่ม \frac{1}{19} ไปยัง \frac{3}{19} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

ลบ 19x+4y=0 จาก 19x+3y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$19x-19x+3y-4y=1$$

เพิ่ม 19x ไปยัง -19x ตัดพจน์ 19x และ -19x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-4y=1$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -4y

$$-y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 19x+4y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

คูณ 4 ด้วย -1

$$19x-4=0$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$19x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=\frac{4}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$