แก้โจทย์ {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-10y=10$$

เพิ่ม 10y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16x=10y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{16} ด้วย 10+10y

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

ทดแทน \frac{5+5y}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -8x-6y=6

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

คูณ -8 ด้วย \frac{5+5y}{8}

$$-5y-5-6y=6$$

เพิ่ม -5y ไปยัง -6y

$$-11y-5=6$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-11y=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

คูณ \frac{5}{8} ด้วย -1

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

เพิ่ม \frac{5}{8} ไปยัง -\frac{5}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

เพื่อทำให้ 16x และ -8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 16

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

ลบ -128x-96y=96 จาก -128x+80y=-80 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

เพิ่ม -128x ไปยัง 128x ตัดพจน์ -128x และ 128x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$80y+96y=-80-96$$

เพิ่ม 80y ไปยัง 96y

$$176y=-80-96$$

เพิ่ม -80 ไปยัง -96

$$176y=-176$$

หารทั้งสองข้างด้วย 176

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -8x-6y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

คูณ -6 ด้วย -1

$$-8x+6=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-1$$