แก้โจทย์ {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x+107y=1$$

ลบ 107y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$15x=-107y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{15} ด้วย -107y+1

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

ทดแทน \frac{-107y+1}{15} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 71x+179y=-287

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

คูณ 71 ด้วย \frac{-107y+1}{15}

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

เพิ่ม -\frac{7597y}{15} ไปยัง 179y

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

ลบ \frac{71}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{4912}{15} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{547}{614}$$

ทดแทน \frac{547}{614} สำหรับ y ใน x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

คูณ -\frac{107}{15} ครั้ง \frac{547}{614} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

เพิ่ม \frac{1}{15} ไปยัง -\frac{58529}{9210} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{3861}{614}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

เพื่อทำให้ 15x และ 71x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 71 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 15

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

ลบ 1065x+2685y=-4305 จาก 1065x+7597y=71 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

เพิ่ม 1065x ไปยัง -1065x ตัดพจน์ 1065x และ -1065x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7597y-2685y=71+4305$$

เพิ่ม 7597y ไปยัง -2685y

$$4912y=71+4305$$

เพิ่ม 71 ไปยัง 4305

$$4912y=4376$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4912

$$y=\frac{547}{614}$$

ทดแทน \frac{547}{614} สำหรับ y ใน 71x+179y=-287 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

คูณ 179 ด้วย \frac{547}{614}

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

ลบ \frac{97913}{614} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 71

$$x=-\frac{3861}{614}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$