แก้โจทย์ {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$13x+20y=48$$

ลบ 20y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$13x=-20y+48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

คูณ \frac{1}{13} ด้วย -20y+48

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

ทดแทน \frac{-20y+48}{13} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 20x+93y=1

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

คูณ 20 ด้วย \frac{-20y+48}{13}

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

เพิ่ม -\frac{400y}{13} ไปยัง 93y

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

ลบ \frac{960}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{809}{13} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{947}{809}$$

ทดแทน -\frac{947}{809} สำหรับ y ใน x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

คูณ -\frac{20}{13} ครั้ง -\frac{947}{809} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

เพิ่ม \frac{48}{13} ไปยัง \frac{18940}{10517} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4444}{809}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

เพื่อทำให้ 13x และ 20x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 20 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 13

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

ลบ 260x+1209y=13 จาก 260x+400y=960 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

เพิ่ม 260x ไปยัง -260x ตัดพจน์ 260x และ -260x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$400y-1209y=960-13$$

เพิ่ม 400y ไปยัง -1209y

$$-809y=960-13$$

เพิ่ม 960 ไปยัง -13

$$-809y=947$$

หารทั้งสองข้างด้วย -809

$$y=-\frac{947}{809}$$

ทดแทน -\frac{947}{809} สำหรับ y ใน 20x+93y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

คูณ 93 ด้วย -\frac{947}{809}

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

เพิ่ม \frac{88071}{809} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$20x=\frac{88880}{809}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$x=\frac{4444}{809}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$