แก้โจทย์ {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x+4y=6$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=-4y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{12} ด้วย -4y+6

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x+16y=8

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 16y

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$13y=\frac{7}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=\frac{7}{26}$$

ทดแทน \frac{7}{26} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง \frac{7}{26} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง -\frac{7}{78} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{16}{39}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

เพื่อทำให้ 12x และ 9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 12

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

ลบ 108x+192y=96 จาก 108x+36y=54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

เพิ่ม 108x ไปยัง -108x ตัดพจน์ 108x และ -108x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y-192y=54-96$$

เพิ่ม 36y ไปยัง -192y

$$-156y=54-96$$

เพิ่ม 54 ไปยัง -96

$$-156y=-42$$

หารทั้งสองข้างด้วย -156

$$y=\frac{7}{26}$$

ทดแทน \frac{7}{26} สำหรับ y ใน 9x+16y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

คูณ 16 ด้วย \frac{7}{26}

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

ลบ \frac{56}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\frac{48}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{16}{39}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$