แก้โจทย์ {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12a+4b=-4$$

ลบ 4b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12a=-4b-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

คูณ \frac{1}{12} ด้วย -4b-4

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-b-1}{3} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 3a-9b=-21

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-b-1}{3}

$$-b-1-9b=-21$$

เพิ่ม -b ไปยัง -9b

$$-10b-1=-21$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-10b=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 2

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง -\frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-1,b=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-1,b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

เพื่อทำให้ 12a และ 3a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 12

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

ลบ 36a-108b=-252 จาก 36a+12b=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

เพิ่ม 36a ไปยัง -36a ตัดพจน์ 36a และ -36a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12b+108b=-12+252$$

เพิ่ม 12b ไปยัง 108b

$$120b=-12+252$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 252

$$120b=240$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน 3a-9b=-21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$3a-9\times 2=-21$$

คูณ -9 ด้วย 2

$$3a-18=-21$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-1,b=2$$