แก้โจทย์ {l}{11a=5b+48}{7a=13b-840}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 a = 5 b + 48 } \\ { 7 a = 13 b - 840 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a = \frac{134}{3} = 44\frac{2}{3} \approx 44.666666667$$

$$b = \frac{266}{3} = 88\frac{2}{3} \approx 88.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 5b จากทั้งสองด้าน

$$11a-5b=48$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13b จากทั้งสองด้าน

$$7a-13b=-840$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$11a-5b=48$$

เพิ่ม 5b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$11a=5b+48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$a=\frac{1}{11}\left(5b+48\right)$$

คูณ \frac{1}{11} ด้วย 5b+48

$$a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}$$

ทดแทน \frac{5b+48}{11} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 7a-13b=-840

$$7\left(\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}\right)-13b=-840$$

คูณ 7 ด้วย \frac{5b+48}{11}

$$\frac{35}{11}b+\frac{336}{11}-13b=-840$$

เพิ่ม \frac{35b}{11} ไปยัง -13b

$$-\frac{108}{11}b+\frac{336}{11}=-840$$

ลบ \frac{336}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{108}{11}b=-\frac{9576}{11}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{108}{11} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=\frac{266}{3}$$

ทดแทน \frac{266}{3} สำหรับ b ใน a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{5}{11}\times \frac{266}{3}+\frac{48}{11}$$

คูณ \frac{5}{11} ครั้ง \frac{266}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{1330}{33}+\frac{48}{11}$$

เพิ่ม \frac{48}{11} ไปยัง \frac{1330}{33} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{134}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 5b จากทั้งสองด้าน

$$11a-5b=48$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13b จากทั้งสองด้าน

$$7a-13b=-840$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{11}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}&-\frac{5}{108}\\\frac{7}{108}&-\frac{11}{108}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}\times 48-\frac{5}{108}\left(-840\right)\\\frac{7}{108}\times 48-\frac{11}{108}\left(-840\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{3}\\\frac{266}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 5b จากทั้งสองด้าน

$$11a-5b=48$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 13b จากทั้งสองด้าน

$$7a-13b=-840$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

เพื่อทำให้ 11a และ 7a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 11

$$7\times 11a+7\left(-5\right)b=7\times 48,11\times 7a+11\left(-13\right)b=11\left(-840\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$77a-35b=336,77a-143b=-9240$$

ลบ 77a-143b=-9240 จาก 77a-35b=336 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$77a-77a-35b+143b=336+9240$$

เพิ่ม 77a ไปยัง -77a ตัดพจน์ 77a และ -77a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-35b+143b=336+9240$$

เพิ่ม -35b ไปยัง 143b

$$108b=336+9240$$

เพิ่ม 336 ไปยัง 9240

$$108b=9576$$

หารทั้งสองข้างด้วย 108

$$b=\frac{266}{3}$$

ทดแทน \frac{266}{3} สำหรับ b ใน 7a-13b=-840 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$7a-13\times \frac{266}{3}=-840$$

คูณ -13 ด้วย \frac{266}{3}

$$7a-\frac{3458}{3}=-840$$

เพิ่ม \frac{3458}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7a=\frac{938}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$a=\frac{134}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$