แก้โจทย์ {l}{1x+3y=9}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 3 y = 9 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+3y=9$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3y+9$$

ทดแทน -3y+9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=8

$$3\left(-3y+9\right)+2y=8$$

คูณ 3 ด้วย -3y+9

$$-9y+27+2y=8$$

เพิ่ม -9y ไปยัง 2y

$$-7y+27=8$$

ลบ 27 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{19}{7}$$

ทดแทน \frac{19}{7} สำหรับ y ใน x=-3y+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3\times \frac{19}{7}+9$$

คูณ -3 ด้วย \frac{19}{7}

$$x=-\frac{57}{7}+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -\frac{57}{7}

$$x=\frac{6}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3\times 3}&-\frac{3}{2-3\times 3}\\-\frac{3}{2-3\times 3}&\frac{1}{2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 9+\frac{3}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

เพื่อทำให้ x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$3x+3\times 3y=3\times 9,3x+2y=8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+9y=27,3x+2y=8$$

ลบ 3x+2y=8 จาก 3x+9y=27 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+9y-2y=27-8$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-2y=27-8$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -2y

$$7y=27-8$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -8

$$7y=19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=\frac{19}{7}$$

ทดแทน \frac{19}{7} สำหรับ y ใน 3x+2y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{19}{7}=8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{19}{7}

$$3x+\frac{38}{7}=8$$

ลบ \frac{38}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{18}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{6}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$