แก้โจทย์ {l}{1x+3y=-13}{2x+10y=-38}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 3 y = - 13 } \\ { 2 x + 10 y = - 38 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+3y=-13,2x+10y=-38$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+3y=-13$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3y-13$$

ทดแทน -3y-13 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+10y=-38

$$2\left(-3y-13\right)+10y=-38$$

คูณ 2 ด้วย -3y-13

$$-6y-26+10y=-38$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 10y

$$4y-26=-38$$

เพิ่ม 26 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-3y-13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3\left(-3\right)-13$$

คูณ -3 ด้วย -3

$$x=9-13$$

เพิ่ม -13 ไปยัง 9

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+3y=-13,2x+10y=-38$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-3\times 2}&-\frac{3}{10-3\times 2}\\-\frac{2}{10-3\times 2}&\frac{1}{10-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-38\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\left(-13\right)-\frac{3}{4}\left(-38\right)\\-\frac{1}{2}\left(-13\right)+\frac{1}{4}\left(-38\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+3y=-13,2x+10y=-38$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times 3y=2\left(-13\right),2x+10y=-38$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+6y=-26,2x+10y=-38$$

ลบ 2x+10y=-38 จาก 2x+6y=-26 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+6y-10y=-26+38$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-10y=-26+38$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -10y

$$-4y=-26+38$$

เพิ่ม -26 ไปยัง 38

$$-4y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 2x+10y=-38 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+10\left(-3\right)=-38$$

คูณ 10 ด้วย -3

$$2x-30=-38$$

เพิ่ม 30 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-3$$