แก้โจทย์ {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

หาค่า c, V

$$c=9000$$

$$V=7500$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ c โดยแยก c ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$c+V=16500$$

ลบ V จากทั้งสองข้างของสมการ

$$c=-V+16500$$

ทดแทน -V+16500 สำหรับ c ในอีกสมการหนึ่ง 2c+3V=40500

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

คูณ 2 ด้วย -V+16500

$$-2V+33000+3V=40500$$

เพิ่ม -2V ไปยัง 3V

$$V+33000=40500$$

ลบ 33000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$V=7500$$

ทดแทน 7500 สำหรับ V ใน c=-V+16500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$c=-7500+16500$$

เพิ่ม 16500 ไปยัง -7500

$$c=9000$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=9000,V=7500$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ c และ V

$$c=9000,V=7500$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

เพื่อทำให้ c และ 2c เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

ลบ 2c+3V=40500 จาก 2c+2V=33000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

เพิ่ม 2c ไปยัง -2c ตัดพจน์ 2c และ -2c ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2V-3V=33000-40500$$

เพิ่ม 2V ไปยัง -3V

$$-V=33000-40500$$

เพิ่ม 33000 ไปยัง -40500

$$-V=-7500$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$V=7500$$

ทดแทน 7500 สำหรับ V ใน 2c+3V=40500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$2c+3\times 7500=40500$$

คูณ 3 ด้วย 7500

$$2c+22500=40500$$

ลบ 22500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2c=18000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$c=9000$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=9000,V=7500$$