แก้โจทย์ {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.5x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.5x=-y+9$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2\left(-y+9\right)$$

คูณ 2 ด้วย -y+9

$$x=-2y+18$$

ทดแทน -2y+18 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 1.6x+0.2y=13

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

คูณ 1.6 ด้วย -2y+18

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

เพิ่ม -\frac{16y}{5} ไปยัง \frac{y}{5}

$$-3y+28.8=13$$

ลบ 28.8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-15.8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=\frac{79}{15}$$

ทดแทน \frac{79}{15} สำหรับ y ใน x=-2y+18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

คูณ -2 ด้วย \frac{79}{15}

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -\frac{158}{15}

$$x=\frac{112}{15}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{2} และ \frac{8x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1.6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.5

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

ลบ 0.8x+0.1y=6.5 จาก 0.8x+1.6y=14.4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

เพิ่ม \frac{4x}{5} ไปยัง -\frac{4x}{5} ตัดพจน์ \frac{4x}{5} และ -\frac{4x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

เพิ่ม \frac{8y}{5} ไปยัง -\frac{y}{10}

$$1.5y=14.4-6.5$$

เพิ่ม 14.4 ไปยัง -6.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$1.5y=7.9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{79}{15}$$

ทดแทน \frac{79}{15} สำหรับ y ใน 1.6x+0.2y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

คูณ 0.2 ครั้ง \frac{79}{15} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

ลบ \frac{79}{75} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{112}{15}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$