แก้โจทย์ {l}{0.4x+0.6y=132}{x+y=240}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = 132 } \\ { x + y = 240 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=60$$

$$y=180$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.4x+0.6y=132$$

ลบ \frac{3y}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.4x=-0.6y+132$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=2.5\left(-0.6y+132\right)$$

คูณ 2.5 ด้วย -\frac{3y}{5}+132

$$x=-1.5y+330$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}+330 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=240

$$-1.5y+330+y=240$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง y

$$-0.5y+330=240$$

ลบ 330 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.5y=-90$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=180$$

ทดแทน 180 สำหรับ y ใน x=-1.5y+330 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-1.5\times 180+330$$

คูณ -1.5 ด้วย 180

$$x=-270+330$$

เพิ่ม 330 ไปยัง -270

$$x=60$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=60,y=180$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.4-0.6}&-\frac{0.6}{0.4-0.6}\\-\frac{1}{0.4-0.6}&\frac{0.4}{0.4-0.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 132+3\times 240\\5\times 132-2\times 240\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\180\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=60,y=180$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

เพื่อทำให้ \frac{2x}{5} และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.4

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=0.4\times 240$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=96$$

ลบ 0.4x+0.4y=96 จาก 0.4x+0.6y=132 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.4x-0.4x+0.6y-0.4y=132-96$$

เพิ่ม \frac{2x}{5} ไปยัง -\frac{2x}{5} ตัดพจน์ \frac{2x}{5} และ -\frac{2x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.6y-0.4y=132-96$$

เพิ่ม \frac{3y}{5} ไปยัง -\frac{2y}{5}

$$0.2y=132-96$$

เพิ่ม 132 ไปยัง -96

$$0.2y=36$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=180$$

ทดแทน 180 สำหรับ y ใน x+y=240 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+180=240$$

ลบ 180 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=60$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=60,y=180$$