แก้โจทย์ {l}{0.4x+0.6y=-760}{-0.8x-0.3y=800}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = - 760 } \\ { - 0.8 x - 0.3 y = 800 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-700$$

$$y=-800$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.4x+0.6y=-760$$

ลบ \frac{3y}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.4x=-0.6y-760$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=2.5\left(-0.6y-760\right)$$

คูณ 2.5 ด้วย -\frac{3y}{5}-760

$$x=-1.5y-1900$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}-1900 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -0.8x-0.3y=800

$$-0.8\left(-1.5y-1900\right)-0.3y=800$$

คูณ -0.8 ด้วย -\frac{3y}{2}-1900

$$1.2y+1520-0.3y=800$$

เพิ่ม \frac{6y}{5} ไปยัง -\frac{3y}{10}

$$0.9y+1520=800$$

ลบ 1520 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.9y=-720$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.9 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-800$$

ทดแทน -800 สำหรับ y ใน x=-1.5y-1900 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-1.5\left(-800\right)-1900$$

คูณ -1.5 ด้วย -800

$$x=1200-1900$$

เพิ่ม -1900 ไปยัง 1200

$$x=-700$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-700,y=-800$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\\-\frac{-0.8}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\left(-760\right)-\frac{5}{3}\times 800\\\frac{20}{9}\left(-760\right)+\frac{10}{9}\times 800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-700\\-800\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-700,y=-800$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

เพื่อทำให้ \frac{2x}{5} และ -\frac{4x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -0.8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.4

$$-0.8\times 0.4x-0.8\times 0.6y=-0.8\left(-760\right),0.4\left(-0.8\right)x+0.4\left(-0.3\right)y=0.4\times 800$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-0.32x-0.48y=608,-0.32x-0.12y=320$$

ลบ -0.32x-0.12y=320 จาก -0.32x-0.48y=608 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.32x+0.32x-0.48y+0.12y=608-320$$

เพิ่ม -\frac{8x}{25} ไปยัง \frac{8x}{25} ตัดพจน์ -\frac{8x}{25} และ \frac{8x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.48y+0.12y=608-320$$

เพิ่ม -\frac{12y}{25} ไปยัง \frac{3y}{25}

$$-0.36y=608-320$$

เพิ่ม 608 ไปยัง -320

$$-0.36y=288$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.36 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-800$$

ทดแทน -800 สำหรับ y ใน -0.8x-0.3y=800 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-0.8x-0.3\left(-800\right)=800$$

คูณ -0.3 ด้วย -800

$$-0.8x+240=800$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.8x=560$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-700$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-700,y=-800$$