แก้โจทย์ {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

หาค่า x_3, x_2

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x_{3} โดยแยก x_{3} ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

ลบ \frac{4x_{2}}{25} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.041 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

คูณ \frac{1000}{41} ด้วย -\frac{4x_{2}}{25}+0.9

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

ทดแทน \frac{-160x_{2}+900}{41} สำหรับ x_{3} ในอีกสมการหนึ่ง -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

คูณ -0.002 ด้วย \frac{-160x_{2}+900}{41}

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

เพิ่ม \frac{8x_{2}}{1025} ไปยัง \frac{41x_{2}}{1000}

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

เพิ่ม \frac{9}{205} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2001}{41000} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

ทดแทน \frac{2199}{667} สำหรับ x_{2} ใน x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{3} โดยตรงได้

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

คูณ -\frac{160}{41} ครั้ง \frac{2199}{667} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

เพิ่ม \frac{900}{41} ไปยัง -\frac{351840}{27347} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x_{3} และ x_{2}

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

เพื่อทำให้ \frac{41x_{3}}{1000} และ -\frac{x_{3}}{500} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -0.002 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.041

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

ลบ -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 จาก -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

เพิ่ม -\frac{41x_{3}}{500000} ไปยัง \frac{41x_{3}}{500000} ตัดพจน์ -\frac{41x_{3}}{500000} และ \frac{41x_{3}}{500000} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

เพิ่ม -\frac{x_{2}}{3125} ไปยัง -\frac{1681x_{2}}{1000000}

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

เพิ่ม -0.0018 ไปยัง -0.004797 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.002001 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

ทดแทน \frac{2199}{667} สำหรับ x_{2} ใน -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{3} โดยตรงได้

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

คูณ 0.041 ครั้ง \frac{2199}{667} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

ลบ \frac{90159}{667000} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -500

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$