แก้โจทย์ {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

หาค่า b, c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3+3b+c=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3b+c=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ b โดยแยก b ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

ลบ c จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

คูณ -1 ด้วย -c-\frac{1}{3}

$$b=c+\frac{1}{3}$$

ทดแทน c+\frac{1}{3} สำหรับ b ในอีกสมการหนึ่ง 3b+c=-3

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

คูณ 3 ด้วย c+\frac{1}{3}

$$3c+1+c=-3$$

เพิ่ม 3c ไปยัง c

$$4c+1=-3$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4c=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$c=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ c ใน b=c+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง -1

$$b=-\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3+3b+c=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3b+c=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ b และ c

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3+3b+c=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3b+c=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

ลบ 3b+c=-3 จาก -b+c=-\frac{1}{3} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

เพิ่ม c ไปยัง -c ตัดพจน์ c และ -c ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

เพิ่ม -b ไปยัง -3b

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง 3

$$-4b=\frac{8}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$b=-\frac{2}{3}$$

ทดแทน -\frac{2}{3} สำหรับ b ใน 3b+c=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{2}{3}

$$-2+c=-3$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$c=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$