แก้โจทย์ {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x-5y=11$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=5y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(5y+11\right)$$

คูณ -1 ด้วย 5y+11

$$x=-5y-11$$

ทดแทน -5y-11 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=9

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

คูณ 2 ด้วย -5y-11

$$-10y-22+y=9$$

เพิ่ม -10y ไปยัง y

$$-9y-22=9$$

เพิ่ม 22 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=31$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{31}{9}$$

ทดแทน -\frac{31}{9} สำหรับ y ใน x=-5y-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{31}{9}

$$x=\frac{155}{9}-11$$

เพิ่ม -11 ไปยัง \frac{155}{9}

$$x=\frac{56}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

เพื่อทำให้ -x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

ลบ -2x-y=-9 จาก -2x-10y=22 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y+y=22+9$$

เพิ่ม -10y ไปยัง y

$$-9y=22+9$$

เพิ่ม 22 ไปยัง 9

$$-9y=31$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{31}{9}$$

ทดแทน -\frac{31}{9} สำหรับ y ใน 2x+y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

เพิ่ม \frac{31}{9} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{112}{9}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{56}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$