แก้โจทย์ {l}{-9y=13x+81}{1/9y=1+5/81x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 y = 13 x + 81 } \\ { \frac { 1 } { 9 } y = 1 + \frac { 5 } { 81 } x } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-9$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-9y-13x=81$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{5}{81}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9y-13x=81$$

เพิ่ม 13x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=13x+81$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{1}{9}\left(13x+81\right)$$

คูณ -\frac{1}{9} ด้วย 13x+81

$$y=-\frac{13}{9}x-9$$

ทดแทน -\frac{13x}{9}-9 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1

$$\frac{1}{9}\left(-\frac{13}{9}x-9\right)-\frac{5}{81}x=1$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -\frac{13x}{9}-9

$$-\frac{13}{81}x-1-\frac{5}{81}x=1$$

เพิ่ม -\frac{13x}{81} ไปยัง -\frac{5x}{81}

$$-\frac{2}{9}x-1=1$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{9}x=2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ x ใน y=-\frac{13}{9}x-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{13}{9}\left(-9\right)-9$$

คูณ -\frac{13}{9} ด้วย -9

$$y=13-9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 13

$$y=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=4,x=-9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-9y-13x=81$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{5}{81}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{81}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{-13}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\\-\frac{\frac{1}{9}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{9}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}&\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}\times 81+\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}\times 81-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=4,x=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-9y-13x=81$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{5}{81}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

เพื่อทำให้ -9y และ \frac{y}{9} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{9} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -9

$$\frac{1}{9}\left(-9\right)y+\frac{1}{9}\left(-13\right)x=\frac{1}{9}\times 81,-9\times \frac{1}{9}y-9\left(-\frac{5}{81}\right)x=-9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-y-\frac{13}{9}x=9,-y+\frac{5}{9}x=-9$$

ลบ -y+\frac{5}{9}x=-9 จาก -y-\frac{13}{9}x=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-y+y-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

เพิ่ม -\frac{13x}{9} ไปยัง -\frac{5x}{9}

$$-2x=9+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 9

$$-2x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ x ใน \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}\left(-9\right)=1$$

คูณ -\frac{5}{81} ด้วย -9

$$\frac{1}{9}y+\frac{5}{9}=1$$

ลบ \frac{5}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{9}y=\frac{4}{9}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=4,x=-9$$