แก้โจทย์ {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x-6y=6$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=6y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

คูณ -\frac{1}{9} ด้วย 6+6y

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y-2}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-6y=-18

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-2y-2}{3}

$$-2y-2-6y=-18$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -6y

$$-8y-2=-18$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8y=-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย 2

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

เพิ่ม -\frac{2}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

ลบ 3x-6y=-18 จาก -9x-6y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 6y ตัดพจน์ -6y และ 6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9x-3x=6+18$$

เพิ่ม -9x ไปยัง -3x

$$-12x=6+18$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 18

$$-12x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$x=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ใน 3x-6y=-18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

คูณ 3 ด้วย -2

$$-6-6y=-18$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$