แก้โจทย์ {l}{-9x-5y=25}{6x+7y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 5 y = 25 } \\ { 6 x + 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-5$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x-5y=25$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=5y+25$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=-\frac{1}{9}\left(5y+25\right)$$

คูณ -\frac{1}{9} ด้วย 25+5y

$$x=-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9}$$

ทดแทน \frac{-5y-25}{9} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+7y=-2

$$6\left(-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9}\right)+7y=-2$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-5y-25}{9}

$$-\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}+7y=-2$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง 7y

$$\frac{11}{3}y-\frac{50}{3}=-2$$

เพิ่ม \frac{50}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{3}y=\frac{44}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{9}\times 4-\frac{25}{9}$$

คูณ -\frac{5}{9} ด้วย 4

$$x=\frac{-20-25}{9}$$

เพิ่ม -\frac{25}{9} ไปยัง -\frac{20}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{33}&-\frac{5}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{33}\times 25-\frac{5}{33}\left(-2\right)\\\frac{2}{11}\times 25+\frac{3}{11}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-5,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

เพื่อทำให้ -9x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -9

$$6\left(-9\right)x+6\left(-5\right)y=6\times 25,-9\times 6x-9\times 7y=-9\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-54x-30y=150,-54x-63y=18$$

ลบ -54x-63y=18 จาก -54x-30y=150 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-54x+54x-30y+63y=150-18$$

เพิ่ม -54x ไปยัง 54x ตัดพจน์ -54x และ 54x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30y+63y=150-18$$

เพิ่ม -30y ไปยัง 63y

$$33y=150-18$$

เพิ่ม 150 ไปยัง -18

$$33y=132$$

หารทั้งสองข้างด้วย 33

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 6x+7y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+7\times 4=-2$$

คูณ 7 ด้วย 4

$$6x+28=-2$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=4$$