แก้โจทย์ {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x-9y=-10$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=9y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย 9y-10

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

ทดแทน -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-3y=10

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง -3y

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}y=15$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

คูณ -\frac{9}{8} ด้วย 10

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยัง -\frac{45}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-10,y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

เพื่อทำให้ -8x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -8

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

ลบ 32x+24y=-80 จาก 32x+36y=40 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

เพิ่ม 32x ไปยัง -32x ตัดพจน์ 32x และ -32x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y-24y=40+80$$

เพิ่ม 36y ไปยัง -24y

$$12y=40+80$$

เพิ่ม 40 ไปยัง 80

$$12y=120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน -4x-3y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-3\times 10=10$$

คูณ -3 ด้วย 10

$$-4x-30=10$$

เพิ่ม 30 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=40$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=10$$