แก้โจทย์ {l}{-8x+8y=-16}{-6x+y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 8 y = - 16 } \\ { - 6 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+8y=-16$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=-8y-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{8}\left(-8y-16\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย -8y-16

$$x=y+2$$

ทดแทน y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -6x+y=18

$$-6\left(y+2\right)+y=18$$

คูณ -6 ด้วย y+2

$$-6y-12+y=18$$

เพิ่ม -6y ไปยัง y

$$-5y-12=18$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-6+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -6

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{20}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

เพื่อทำให้ -8x และ -6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -8

$$-6\left(-8\right)x-6\times 8y=-6\left(-16\right),-8\left(-6\right)x-8y=-8\times 18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$48x-48y=96,48x-8y=-144$$

ลบ 48x-8y=-144 จาก 48x-48y=96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x-48x-48y+8y=96+144$$

เพิ่ม 48x ไปยัง -48x ตัดพจน์ 48x และ -48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-48y+8y=96+144$$

เพิ่ม -48y ไปยัง 8y

$$-40y=96+144$$

เพิ่ม 96 ไปยัง 144

$$-40y=240$$

หารทั้งสองข้างด้วย -40

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน -6x+y=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-6x-6=18$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-6$$