แก้โจทย์ {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+7y=-9$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=-7y-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย -7y-9

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

ทดแทน \frac{7y+9}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x+7y=-18

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

คูณ -9 ด้วย \frac{7y+9}{8}

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

เพิ่ม -\frac{63y}{8} ไปยัง 7y

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

เพิ่ม \frac{81}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

คูณ \frac{7}{8} ด้วย 9

$$x=\frac{63+9}{8}$$

เพิ่ม \frac{9}{8} ไปยัง \frac{63}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

ลบ -9x+7y=-18 จาก -8x+7y=-9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -7y ตัดพจน์ 7y และ -7y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8x+9x=-9+18$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 9x

$$x=-9+18$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 18

$$x=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ x ใน -9x+7y=-18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-9\times 9+7y=-18$$

คูณ -9 ด้วย 9

$$-81+7y=-18$$

เพิ่ม 81 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=9$$