แก้โจทย์ {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-7x-8y=-2$$

เพิ่ม 8y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=8y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

คูณ -\frac{1}{7} ด้วย 8y-2

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

ทดแทน \frac{-8y+2}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+8y=26

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-8y+2}{7}

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

เพิ่ม \frac{40y}{7} ไปยัง 8y

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

เพิ่ม \frac{10}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{96}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

คูณ -\frac{8}{7} ด้วย 2

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

เพิ่ม \frac{2}{7} ไปยัง -\frac{16}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

เพื่อทำให้ -7x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -7

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

ลบ 35x-56y=-182 จาก 35x+40y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

เพิ่ม 35x ไปยัง -35x ตัดพจน์ 35x และ -35x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$40y+56y=10+182$$

เพิ่ม 40y ไปยัง 56y

$$96y=10+182$$

เพิ่ม 10 ไปยัง 182

$$96y=192$$

หารทั้งสองข้างด้วย 96

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -5x+8y=26 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+8\times 2=26$$

คูณ 8 ด้วย 2

$$-5x+16=26$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$