แก้โจทย์ {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+5y=1$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=-5y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

คูณ -\frac{1}{6} ด้วย -5y+1

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

ทดแทน \frac{5y-1}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+4y=-10

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

คูณ 6 ด้วย \frac{5y-1}{6}

$$5y-1+4y=-10$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 4y

$$9y-1=-10$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

คูณ \frac{5}{6} ด้วย -1

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

เพิ่ม -\frac{1}{6} ไปยัง -\frac{5}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

เพื่อทำให้ -6x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -6

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

ลบ -36x-24y=60 จาก -36x+30y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

เพิ่ม -36x ไปยัง 36x ตัดพจน์ -36x และ 36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30y+24y=6-60$$

เพิ่ม 30y ไปยัง 24y

$$54y=6-60$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -60

$$54y=-54$$

หารทั้งสองข้างด้วย 54

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 6x+4y=-10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

คูณ 4 ด้วย -1

$$6x-4=-10$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-1$$