แก้โจทย์ {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5y+8x=-18$$

ลบ 8x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=-8x-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย -8x-18

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{8x+18}{5} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+2x=58

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

คูณ 5 ด้วย \frac{8x+18}{5}

$$8x+18+2x=58$$

เพิ่ม 8x ไปยัง 2x

$$10x+18=58$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=40$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

คูณ \frac{8}{5} ด้วย 4

$$y=\frac{32+18}{5}$$

เพิ่ม \frac{18}{5} ไปยัง \frac{32}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=10,x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

เพื่อทำให้ -5y และ 5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -5

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

ลบ -25y-10x=-290 จาก -25y+40x=-90 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

เพิ่ม -25y ไปยัง 25y ตัดพจน์ -25y และ 25y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$40x+10x=-90+290$$

เพิ่ม 40x ไปยัง 10x

$$50x=-90+290$$

เพิ่ม -90 ไปยัง 290

$$50x=200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน 5y+2x=58 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y+2\times 4=58$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$5y+8=58$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=50$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=4$$