แก้โจทย์ {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+5y=-10$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=-5y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย -5y-10

$$x=y+2$$

ทดแทน y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+5y=-16

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

คูณ -2 ด้วย y+2

$$-2y-4+5y=-16$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 5y

$$3y-4=-16$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -4

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

ลบ -2x+5y=-16 จาก -5x+5y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5x+2x=-10+16$$

เพิ่ม -5x ไปยัง 2x

$$-3x=-10+16$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 16

$$-3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ใน -2x+5y=-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

คูณ -2 ด้วย -2

$$4+5y=-16$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-4$$