แก้โจทย์ {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x-y

$$-5x+5y+3y=2x$$

รวม 5y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$-5x+8y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-5x+8y-2x=0$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x+8y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 6x+7 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2y-6x-7=-2$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$2y-6x=-2+7$$

เพิ่ม -2 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 5

$$2y-6x=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-7x+8y=0$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=-8y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

คูณ -\frac{1}{7} ด้วย -8y

$$x=\frac{8}{7}y$$

ทดแทน \frac{8y}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -6x+2y=5

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

คูณ -6 ด้วย \frac{8y}{7}

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

เพิ่ม -\frac{48y}{7} ไปยัง 2y

$$-\frac{34}{7}y=5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{34}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{35}{34}$$

ทดแทน -\frac{35}{34} สำหรับ y ใน x=\frac{8}{7}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

คูณ \frac{8}{7} ครั้ง -\frac{35}{34} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{20}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x-y

$$-5x+5y+3y=2x$$

รวม 5y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$-5x+8y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-5x+8y-2x=0$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x+8y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 6x+7 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2y-6x-7=-2$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$2y-6x=-2+7$$

เพิ่ม -2 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 5

$$2y-6x=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย x-y

$$-5x+5y+3y=2x$$

รวม 5y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 8y

$$-5x+8y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-5x+8y-2x=0$$

รวม -5x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x+8y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 6x+7 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2y-6x-7=-2$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$2y-6x=-2+7$$

เพิ่ม -2 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 5

$$2y-6x=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

เพื่อทำให้ -7x และ -6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -7

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

ลบ 42x-14y=-35 จาก 42x-48y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$42x-42x-48y+14y=35$$

เพิ่ม 42x ไปยัง -42x ตัดพจน์ 42x และ -42x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-48y+14y=35$$

เพิ่ม -48y ไปยัง 14y

$$-34y=35$$

หารทั้งสองข้างด้วย -34

$$y=-\frac{35}{34}$$

ทดแทน -\frac{35}{34} สำหรับ y ใน -6x+2y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{35}{34}

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

เพิ่ม \frac{35}{17} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=\frac{120}{17}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-\frac{20}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$