แก้โจทย์ {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x-10y=20$$

เพิ่ม 10y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=10y+20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย 20+10y

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+10y=20

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{5y}{2}-5

$$-20y-40+10y=20$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 10y

$$-10y-40=20$$

เพิ่ม 40 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-10y=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

คูณ -\frac{5}{2} ด้วย -6

$$x=15-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 15

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

เพื่อทำให้ -4x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -4

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

ลบ -32x-40y=-80 จาก -32x-80y=160 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

เพิ่ม -32x ไปยัง 32x ตัดพจน์ -32x และ 32x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-80y+40y=160+80$$

เพิ่ม -80y ไปยัง 40y

$$-40y=160+80$$

เพิ่ม 160 ไปยัง 80

$$-40y=240$$

หารทั้งสองข้างด้วย -40

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน 8x+10y=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

คูณ 10 ด้วย -6

$$8x-60=20$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=80$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-6$$