แก้โจทย์ {l}{-4x+y=12}{-4x-6y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 12 } \\ { - 4 x - 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-4x+y=12,-4x-6y=-16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+y=12$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+12\right)$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -y+12

$$x=\frac{1}{4}y-3$$

ทดแทน \frac{y}{4}-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-6y=-16

$$-4\left(\frac{1}{4}y-3\right)-6y=-16$$

คูณ -4 ด้วย \frac{y}{4}-3

$$-y+12-6y=-16$$

เพิ่ม -y ไปยัง -6y

$$-7y+12=-16$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{4}y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{4}\times 4-3$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 4

$$x=1-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 1

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-4x+y=12,-4x-6y=-16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-4\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{-4\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-4\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{4}{-4\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&-\frac{1}{28}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{28}\left(-16\right)\\\frac{1}{7}\times 12-\frac{1}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-4x+y=12,-4x-6y=-16$$

ลบ -4x-6y=-16 จาก -4x+y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+y+6y=12+16$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+6y=12+16$$

เพิ่ม y ไปยัง 6y

$$7y=12+16$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 16

$$7y=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน -4x-6y=-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-6\times 4=-16$$

คูณ -6 ด้วย 4

$$-4x-24=-16$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$