แก้โจทย์ {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+9y=9$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-9y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -9y+9

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

ทดแทน \frac{-9+9y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-3y=-6

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

เพิ่ม \frac{9y}{4} ไปยัง -3y

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

คูณ \frac{9}{4} ด้วย 5

$$x=\frac{45-9}{4}$$

เพิ่ม -\frac{9}{4} ไปยัง \frac{45}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

เพื่อทำให้ -4x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -4

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

ลบ -4x+12y=24 จาก -4x+9y=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-12y=9-24$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -12y

$$-3y=9-24$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -24

$$-3y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x-3y=-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-3\times 5=-6$$

คูณ -3 ด้วย 5

$$x-15=-6$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=5$$