แก้โจทย์ {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-3x-y-2x=-1$$

รวม -3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-5x-y=-1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+5y

$$-6x-15y=x+y-30$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-15y-x=y-30$$

รวม -6x และ -x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-15y=y-30$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$-7x-15y-y=-30$$

รวม -15y และ -y เพื่อให้ได้รับ -16y

$$-7x-16y=-30$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x-y=-1$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย y-1

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{-y+1}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x-16y=-30

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

คูณ -7 ด้วย \frac{-y+1}{5}

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

เพิ่ม \frac{7y}{5} ไปยัง -16y

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{73}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{143}{73}$$

ทดแทน \frac{143}{73} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง \frac{143}{73} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

เพิ่ม \frac{1}{5} ไปยัง -\frac{143}{365} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{14}{73}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-3x-y-2x=-1$$

รวม -3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-5x-y=-1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+5y

$$-6x-15y=x+y-30$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-15y-x=y-30$$

รวม -6x และ -x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-15y=y-30$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$-7x-15y-y=-30$$

รวม -15y และ -y เพื่อให้ได้รับ -16y

$$-7x-16y=-30$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-3x-y-2x=-1$$

รวม -3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-5x-y=-1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+5y

$$-6x-15y=x+y-30$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-15y-x=y-30$$

รวม -6x และ -x เพื่อให้ได้รับ -7x

$$-7x-15y=y-30$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$-7x-15y-y=-30$$

รวม -15y และ -y เพื่อให้ได้รับ -16y

$$-7x-16y=-30$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

เพื่อทำให้ -5x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -5

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

ลบ 35x+80y=150 จาก 35x+7y=7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

เพิ่ม 35x ไปยัง -35x ตัดพจน์ 35x และ -35x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-80y=7-150$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -80y

$$-73y=7-150$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -150

$$-73y=-143$$

หารทั้งสองข้างด้วย -73

$$y=\frac{143}{73}$$

ทดแทน \frac{143}{73} สำหรับ y ใน -7x-16y=-30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

คูณ -16 ด้วย \frac{143}{73}

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

เพิ่ม \frac{2288}{73} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=\frac{98}{73}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-\frac{14}{73}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$