แก้โจทย์ {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x-5y=17$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=5y+17$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 5y+17

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

ทดแทน \frac{-5y-17}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+6y=14

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-5y-17}{3}

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

เพิ่ม \frac{25y}{3} ไปยัง 6y

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

ลบ \frac{85}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{43}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -1

$$x=\frac{5-17}{3}$$

เพิ่ม -\frac{17}{3} ไปยัง \frac{5}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

เพื่อทำให้ -3x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

ลบ 15x-18y=-42 จาก 15x+25y=-85 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y+18y=-85+42$$

เพิ่ม 25y ไปยัง 18y

$$43y=-85+42$$

เพิ่ม -85 ไปยัง 42

$$43y=-43$$

หารทั้งสองข้างด้วย 43

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -5x+6y=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

คูณ 6 ด้วย -1

$$-5x-6=14$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=-1$$