แก้โจทย์ {l}{-3x+y=8}{-8x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 8 } \\ { - 8 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+y=8$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -y+8

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{-8+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -8x+2y=20

$$-8\left(\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}\right)+2y=20$$

คูณ -8 ด้วย \frac{-8+y}{3}

$$-\frac{8}{3}y+\frac{64}{3}+2y=20$$

เพิ่ม -\frac{8y}{3} ไปยัง 2y

$$-\frac{2}{3}y+\frac{64}{3}=20$$

ลบ \frac{64}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2

$$x=\frac{2-8}{3}$$

เพิ่ม -\frac{8}{3} ไปยัง \frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\4&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8-\frac{1}{2}\times 20\\4\times 8-\frac{3}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

เพื่อทำให้ -3x และ -8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$-8\left(-3\right)x-8y=-8\times 8,-3\left(-8\right)x-3\times 2y=-3\times 20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24x-8y=-64,24x-6y=-60$$

ลบ 24x-6y=-60 จาก 24x-8y=-64 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24x-24x-8y+6y=-64+60$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -24x ตัดพจน์ 24x และ -24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y+6y=-64+60$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 6y

$$-2y=-64+60$$

เพิ่ม -64 ไปยัง 60

$$-2y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -8x+2y=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-8x+2\times 2=20$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$-8x+4=20$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=2$$