แก้โจทย์ {l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+9y=27$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-9y+27$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -9y+27

$$x=3y-9$$

ทดแทน -9+3y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x-8y=-1

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

คูณ -5 ด้วย -9+3y

$$-15y+45-8y=-1$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -8y

$$-23y+45=-1$$

ลบ 45 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-23y=-46$$

หารทั้งสองข้างด้วย -23

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=3y-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\times 2-9$$

คูณ 3 ด้วย 2

$$x=6-9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 6

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

เพื่อทำให้ -3x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

ลบ 15x+24y=3 จาก 15x-45y=-135 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-45y-24y=-135-3$$

เพิ่ม -45y ไปยัง -24y

$$-69y=-135-3$$

เพิ่ม -135 ไปยัง -3

$$-69y=-138$$

หารทั้งสองข้างด้วย -69

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -5x-8y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x-8\times 2=-1$$

คูณ -8 ด้วย 2

$$-5x-16=-1$$

เพิ่ม 16 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$