แก้โจทย์ {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3y=-9$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-3y-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -3y-9

$$x=y+3$$

ทดแทน y+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-y=-12

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

คูณ 6 ด้วย y+3

$$6y+18-y=-12$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -y

$$5y+18=-12$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-6+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -6

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

เพื่อทำให้ -3x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

ลบ -18x+3y=36 จาก -18x+18y=-54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

เพิ่ม -18x ไปยัง 18x ตัดพจน์ -18x และ 18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y-3y=-54-36$$

เพิ่ม 18y ไปยัง -3y

$$15y=-54-36$$

เพิ่ม -54 ไปยัง -36

$$15y=-90$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน 6x-y=-12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-6$$