แก้โจทย์ {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+15y=59$$

ลบ 15y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-15y+59$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -15y+59

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

ทดแทน 5y-\frac{59}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=17

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

คูณ 3 ด้วย 5y-\frac{59}{3}

$$15y-59+4y=17$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 4y

$$19y-59=17$$

เพิ่ม 59 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$19y=76$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=5y-\frac{59}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

คูณ 5 ด้วย 4

$$x=20-\frac{59}{3}$$

เพิ่ม -\frac{59}{3} ไปยัง 20

$$x=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

เพื่อทำให้ -3x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

ลบ -9x-12y=-51 จาก -9x+45y=177 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

เพิ่ม -9x ไปยัง 9x ตัดพจน์ -9x และ 9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$45y+12y=177+51$$

เพิ่ม 45y ไปยัง 12y

$$57y=177+51$$

เพิ่ม 177 ไปยัง 51

$$57y=228$$

หารทั้งสองข้างด้วย 57

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 3x+4y=17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\times 4=17$$

คูณ 4 ด้วย 4

$$3x+16=17$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{3},y=4$$