แก้โจทย์ {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+7y=4$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-7y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -7y+4

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

ทดแทน \frac{7y}{2}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+3y=2

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

คูณ -4 ด้วย \frac{7y}{2}-2

$$-14y+8+3y=2$$

เพิ่ม -14y ไปยัง 3y

$$-11y+8=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{6}{11}$$

ทดแทน \frac{6}{11} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{2}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

คูณ \frac{7}{2} ครั้ง \frac{6}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{21}{11}-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{21}{11}

$$x=-\frac{1}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

เพื่อทำให้ -2x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

ลบ 8x-6y=-4 จาก 8x-28y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-28y+6y=-16+4$$

เพิ่ม -28y ไปยัง 6y

$$-22y=-16+4$$

เพิ่ม -16 ไปยัง 4

$$-22y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -22

$$y=\frac{6}{11}$$

ทดแทน \frac{6}{11} สำหรับ y ใน -4x+3y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{6}{11}

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

ลบ \frac{18}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=\frac{4}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{1}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$