แก้โจทย์ {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ B โดยแยก B ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15B-3A=-14$$

เพิ่ม 3A ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-15B=3A-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

คูณ -\frac{1}{15} ด้วย 3A-14

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

ทดแทน -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} สำหรับ B ในอีกสมการหนึ่ง B-5A=7

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

เพิ่ม -\frac{A}{5} ไปยัง -5A

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

ลบ \frac{14}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{26}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$A=-\frac{7}{6}$$

ทดแทน -\frac{7}{6} สำหรับ A ใน B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า B โดยตรงได้

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง -\frac{7}{6} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

เพิ่ม \frac{14}{15} ไปยัง \frac{7}{30} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$B=\frac{7}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ B และ A

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

เพื่อทำให้ -15B และ B เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -15

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

ลบ -15B+75A=-105 จาก -15B-3A=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

เพิ่ม -15B ไปยัง 15B ตัดพจน์ -15B และ 15B ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3A-75A=-14+105$$

เพิ่ม -3A ไปยัง -75A

$$-78A=-14+105$$

เพิ่ม -14 ไปยัง 105

$$-78A=91$$

หารทั้งสองข้างด้วย -78

$$A=-\frac{7}{6}$$

ทดแทน -\frac{7}{6} สำหรับ A ใน B-5A=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า B โดยตรงได้

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{7}{6}

$$B+\frac{35}{6}=7$$

ลบ \frac{35}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$B=\frac{7}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$