แก้โจทย์ {l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-14y+3x=8$$

ลบ 3x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-14y=-3x+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

คูณ -\frac{1}{14} ด้วย -3x+8

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

ทดแทน \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -9y+192x=7

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

คูณ -9 ด้วย \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

เพิ่ม -\frac{27x}{14} ไปยัง 192x

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

ลบ \frac{36}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2661}{14} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{26}{2661}$$

ทดแทน \frac{26}{2661} สำหรับ x ใน y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

คูณ \frac{3}{14} ครั้ง \frac{26}{2661} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

เพิ่ม -\frac{4}{7} ไปยัง \frac{13}{6209} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-\frac{505}{887}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

เพื่อทำให้ -14y และ -9y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -14

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

ลบ 126y-2688x=-98 จาก 126y-27x=-72 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

เพิ่ม 126y ไปยัง -126y ตัดพจน์ 126y และ -126y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-27x+2688x=-72+98$$

เพิ่ม -27x ไปยัง 2688x

$$2661x=-72+98$$

เพิ่ม -72 ไปยัง 98

$$2661x=26$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2661

$$x=\frac{26}{2661}$$

ทดแทน \frac{26}{2661} สำหรับ x ใน -9y+192x=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

คูณ 192 ด้วย \frac{26}{2661}

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

ลบ \frac{1664}{887} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{505}{887}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$