แก้โจทย์ {l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x-5y=40$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-12x=5y+40$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

คูณ -\frac{1}{12} ด้วย 40+5y

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 12x-11y=88

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

คูณ 12 ด้วย -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}

$$-5y-40-11y=88$$

เพิ่ม -5y ไปยัง -11y

$$-16y-40=88$$

เพิ่ม 40 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-16y=128$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

คูณ -\frac{5}{12} ด้วย -8

$$x=\frac{10-10}{3}$$

เพิ่ม -\frac{10}{3} ไปยัง \frac{10}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

เพื่อทำให้ -12x และ 12x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -12

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

ลบ -144x+132y=-1056 จาก -144x-60y=480 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

เพิ่ม -144x ไปยัง 144x ตัดพจน์ -144x และ 144x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-60y-132y=480+1056$$

เพิ่ม -60y ไปยัง -132y

$$-192y=480+1056$$

เพิ่ม 480 ไปยัง 1056

$$-192y=1536$$

หารทั้งสองข้างด้วย -192

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน 12x-11y=88 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

คูณ -11 ด้วย -8

$$12x+88=88$$

ลบ 88 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-8$$