แก้โจทย์ {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10y+9x=-9$$

ลบ 9x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10y=-9x-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

คูณ -\frac{1}{10} ด้วย -9x-9

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

ทดแทน \frac{9+9x}{10} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 10y+5x=-5

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

คูณ 10 ด้วย \frac{9+9x}{10}

$$9x+9+5x=-5$$

เพิ่ม 9x ไปยัง 5x

$$14x+9=-5$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$14x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

คูณ \frac{9}{10} ด้วย -1

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

เพิ่ม \frac{9}{10} ไปยัง -\frac{9}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=0,x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

เพื่อทำให้ -10y และ 10y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -10

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

ลบ -100y-50x=50 จาก -100y+90x=-90 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

เพิ่ม -100y ไปยัง 100y ตัดพจน์ -100y และ 100y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$90x+50x=-90-50$$

เพิ่ม 90x ไปยัง 50x

$$140x=-90-50$$

เพิ่ม -90 ไปยัง -50

$$140x=-140$$

หารทั้งสองข้างด้วย 140

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 10y+5x=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

คูณ 5 ด้วย -1

$$10y-5=-5$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=-1$$