แก้โจทย์ {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x-7y=-5$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=7y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

คูณ -\frac{1}{10} ด้วย 7y-5

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+5y=4

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

เพิ่ม -\frac{49y}{10} ไปยัง 5y

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

ลบ \frac{7}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{7}{10} ด้วย 5

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง -\frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

เพื่อทำให้ -10x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -10

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

ลบ -70x-50y=-40 จาก -70x-49y=-35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

เพิ่ม -70x ไปยัง 70x ตัดพจน์ -70x และ 70x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-49y+50y=-35+40$$

เพิ่ม -49y ไปยัง 50y

$$y=-35+40$$

เพิ่ม -35 ไปยัง 40

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 7x+5y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+5\times 5=4$$

คูณ 5 ด้วย 5

$$7x+25=4$$

ลบ 25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=5$$