แก้โจทย์ {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+20y=460$$

ลบ 20y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=-20y+460$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

คูณ -\frac{1}{10} ด้วย -20y+460

$$x=2y-46$$

ทดแทน -46+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 30x+60y=1620

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

คูณ 30 ด้วย -46+2y

$$60y-1380+60y=1620$$

เพิ่ม 60y ไปยัง 60y

$$120y-1380=1620$$

เพิ่ม 1380 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$120y=3000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$y=25$$

ทดแทน 25 สำหรับ y ใน x=2y-46 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 25-46$$

คูณ 2 ด้วย 25

$$x=50-46$$

เพิ่ม -46 ไปยัง 50

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=25$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=25$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

เพื่อทำให้ -10x และ 30x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 30 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -10

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

ลบ -300x-600y=-16200 จาก -300x+600y=13800 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

เพิ่ม -300x ไปยัง 300x ตัดพจน์ -300x และ 300x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$600y+600y=13800+16200$$

เพิ่ม 600y ไปยัง 600y

$$1200y=13800+16200$$

เพิ่ม 13800 ไปยัง 16200

$$1200y=30000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1200

$$y=25$$

ทดแทน 25 สำหรับ y ใน 30x+60y=1620 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$30x+60\times 25=1620$$

คูณ 60 ด้วย 25

$$30x+1500=1620$$

ลบ 1500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$30x=120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=25$$