แก้โจทย์ {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

ลบ \frac{23y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

คูณ -1.25 ด้วย -\frac{23y}{10}+3.6

$$x=2.875y-4.5$$

ทดแทน \frac{23y}{8}-4.5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 1.6x-1.2y=6.4

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

คูณ 1.6 ด้วย \frac{23y}{8}-4.5

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

เพิ่ม \frac{23y}{5} ไปยัง -\frac{6y}{5}

$$3.4y-7.2=6.4$$

เพิ่ม 7.2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3.4y=13.6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=2.875y-4.5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2.875\times 4-4.5$$

คูณ 2.875 ด้วย 4

$$x=\frac{23-9}{2}$$

เพิ่ม -4.5 ไปยัง 11.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=7,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

เพื่อทำให้ -\frac{4x}{5} และ \frac{8x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1.6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -0.8

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

ลบ -1.28x+0.96y=-5.12 จาก -1.28x+3.68y=5.76 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

เพิ่ม -\frac{32x}{25} ไปยัง \frac{32x}{25} ตัดพจน์ -\frac{32x}{25} และ \frac{32x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

เพิ่ม \frac{92y}{25} ไปยัง -\frac{24y}{25}

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

เพิ่ม 5.76 ไปยัง 5.12 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$2.72y=10.88$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2.72 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 1.6x-1.2y=6.4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

คูณ -1.2 ด้วย 4

$$1.6x-4.8=6.4$$

เพิ่ม 4.8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1.6x=11.2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=7,y=4$$