แก้โจทย์ {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.5x+0.1y=350$$

ลบ \frac{y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.5x=-0.1y+350$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{y}{10}+350

$$x=0.2y-700$$

ทดแทน \frac{y}{5}-700 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.4x+0.2y=0

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

คูณ 0.4 ด้วย \frac{y}{5}-700

$$0.08y-280+0.2y=0$$

เพิ่ม \frac{2y}{25} ไปยัง \frac{y}{5}

$$0.28y-280=0$$

เพิ่ม 280 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.28y=280$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.28 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1000$$

ทดแทน 1000 สำหรับ y ใน x=0.2y-700 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0.2\times 1000-700$$

คูณ 0.2 ด้วย 1000

$$x=200-700$$

เพิ่ม -700 ไปยัง 200

$$x=-500$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-500,y=1000$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-500,y=1000$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

เพื่อทำให้ -\frac{x}{2} และ \frac{2x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -0.5

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

ลบ -0.2x-0.1y=0 จาก -0.2x+0.04y=140 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

เพิ่ม -\frac{x}{5} ไปยัง \frac{x}{5} ตัดพจน์ -\frac{x}{5} และ \frac{x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.04y+0.1y=140$$

เพิ่ม \frac{y}{25} ไปยัง \frac{y}{10}

$$0.14y=140$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.14 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1000$$

ทดแทน 1000 สำหรับ y ใน 0.4x+0.2y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

คูณ 0.2 ด้วย 1000

$$0.4x+200=0$$

ลบ 200 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.4x=-200$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-500$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-500,y=1000$$