แก้โจทย์ {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

เพิ่ม 610 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.1x-0.7y=610$$

เพิ่ม \frac{7y}{10} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.1x=0.7y+610$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

คูณ -10 ด้วย \frac{7y}{10}+610

$$x=-7y-6100$$

ทดแทน -7y-6100 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -0.8x+0.5y+920=0

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

คูณ -0.8 ด้วย -7y-6100

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

เพิ่ม \frac{28y}{5} ไปยัง \frac{y}{2}

$$6.1y+4880+920=0$$

เพิ่ม 4880 ไปยัง 920

$$6.1y+5800=0$$

ลบ 5800 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6.1y=-5800$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 6.1 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{58000}{61}$$

ทดแทน -\frac{58000}{61} สำหรับ y ใน x=-7y-6100 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

คูณ -7 ด้วย -\frac{58000}{61}

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

เพิ่ม -6100 ไปยัง \frac{406000}{61}

$$x=\frac{33900}{61}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

เพื่อทำให้ -\frac{x}{10} และ -\frac{4x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -0.8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -0.1

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

ลบ 0.08x-0.05y-92=0 จาก 0.08x+0.56y+488=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

เพิ่ม \frac{2x}{25} ไปยัง -\frac{2x}{25} ตัดพจน์ \frac{2x}{25} และ -\frac{2x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

เพิ่ม \frac{14y}{25} ไปยัง \frac{y}{20}

$$0.61y+488+92=0$$

เพิ่ม 488 ไปยัง 92

$$0.61y+580=0$$

ลบ 580 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.61y=-580$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.61 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{58000}{61}$$

ทดแทน -\frac{58000}{61} สำหรับ y ใน -0.8x+0.5y+920=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

คูณ 0.5 ครั้ง -\frac{58000}{61} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

เพิ่ม -\frac{29000}{61} ไปยัง 920

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

ลบ \frac{27120}{61} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{33900}{61}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$