แก้โจทย์ {l}{(a+1)x+(b+2)y=12}{2x+3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x + ( b + 2 ) y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12$$

ลบ \left(b+2\right)y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย a+1

$$x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{a+1} ด้วย -\left(b+2\right)y+12

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}$$

ทดแทน \frac{-by-2y+12}{a+1} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=4

$$2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-by-2y+12}{a+1}

$$\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4$$

เพิ่ม -\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1} ไปยัง 3y

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4$$

ลบ \frac{24}{a+1} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{3a-1-2b}{a+1}

$$y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

ทดแทน \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}$$

คูณ -\frac{b+2}{a+1} ด้วย \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b}

$$x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}$$

เพิ่ม \frac{12}{a+1} ไปยัง -\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)}

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

เพื่อทำให้ xa+x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย a+1

$$2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4$$

ลบ \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4 จาก \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

เพิ่ม 2\left(1+a\right)x ไปยัง -2x-2xa ตัดพจน์ 2\left(1+a\right)x และ -2x-2xa ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

เพิ่ม 2\left(2+b\right)y ไปยัง -3y-3ya

$$\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4$$

เพิ่ม 24 ไปยัง -4-4a

$$\left(1+2b-3a\right)y=20-4a$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2b+1-3a

$$y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$

ทดแทน \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} สำหรับ y ใน 2x+3y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

คูณ 3 ด้วย \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a}

$$2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

ลบ \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$