แก้โจทย์ {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

หาค่า A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ A+B ด้วย 3

$$3A+3B-B=6$$

รวม 3B และ -B เพื่อให้ได้รับ 2B

$$3A+2B=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2A+B ด้วย 9

$$18A+9B-B=42$$

รวม 9B และ -B เพื่อให้ได้รับ 8B

$$18A+8B=42$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3A+2B=6$$

ลบ 2B จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3A=-2B+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2B+6

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

ทดแทน -\frac{2B}{3}+2 สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง 18A+8B=42

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

คูณ 18 ด้วย -\frac{2B}{3}+2

$$-12B+36+8B=42$$

เพิ่ม -12B ไปยัง 8B

$$-4B+36=42$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4B=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$B=-\frac{3}{2}$$

ทดแทน -\frac{3}{2} สำหรับ B ใน A=-\frac{2}{3}B+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง -\frac{3}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$A=1+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 1

$$A=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ A+B ด้วย 3

$$3A+3B-B=6$$

รวม 3B และ -B เพื่อให้ได้รับ 2B

$$3A+2B=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2A+B ด้วย 9

$$18A+9B-B=42$$

รวม 9B และ -B เพื่อให้ได้รับ 8B

$$18A+8B=42$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ B

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ A+B ด้วย 3

$$3A+3B-B=6$$

รวม 3B และ -B เพื่อให้ได้รับ 2B

$$3A+2B=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2A+B ด้วย 9

$$18A+9B-B=42$$

รวม 9B และ -B เพื่อให้ได้รับ 8B

$$18A+8B=42$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

เพื่อทำให้ 3A และ 18A เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 18 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

ลบ 54A+24B=126 จาก 54A+36B=108 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

เพิ่ม 54A ไปยัง -54A ตัดพจน์ 54A และ -54A ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36B-24B=108-126$$

เพิ่ม 36B ไปยัง -24B

$$12B=108-126$$

เพิ่ม 108 ไปยัง -126

$$12B=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$B=-\frac{3}{2}$$

ทดแทน -\frac{3}{2} สำหรับ B ใน 18A+8B=42 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{3}{2}

$$18A-12=42$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18A=54$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$A=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$