แก้โจทย์ {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-2y=4$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=2y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 4+2y

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

ทดแทน \frac{4+2y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=-2

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

เพิ่ม \frac{2y}{5} ไปยัง -y

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

ลบ \frac{4}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{14}{3}$$

ทดแทน \frac{14}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

คูณ \frac{2}{5} ครั้ง \frac{14}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

เพิ่ม \frac{4}{5} ไปยัง \frac{28}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

เพื่อทำให้ 5x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

ลบ 5x-5y=-10 จาก 5x-2y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+5y=4+10$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 5y

$$3y=4+10$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 10

$$3y=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{14}{3}$$

ทดแทน \frac{14}{3} สำหรับ y ใน x-y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

เพิ่ม \frac{14}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$