แก้โจทย์ {l}{text{A.}4x+y+16=0}{text{B.}4x-y-16=0}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { A. } 4 x + y + 16 = 0 } \\ { \text { B. } 4 x - y - 16 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-16$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+y+16=0,4x-y-16=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+y+16=0$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+y=-16$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-y-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-16\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -y-16

$$x=-\frac{1}{4}y-4$$

ทดแทน -\frac{y}{4}-4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y-16=0

$$4\left(-\frac{1}{4}y-4\right)-y-16=0$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{y}{4}-4

$$-y-16-y-16=0$$

เพิ่ม -y ไปยัง -y

$$-2y-16-16=0$$

เพิ่ม -16 ไปยัง -16

$$-2y-32=0$$

เพิ่ม 32 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=32$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-16$$

ทดแทน -16 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\left(-16\right)-4$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -16

$$x=4-4$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 4

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-16$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+y+16=0,4x-y-16=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{4\left(-1\right)-4}&\frac{4}{4\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-16\right)+\frac{1}{8}\times 16\\\frac{1}{2}\left(-16\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-16\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-16$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+y+16=0,4x-y-16=0$$

ลบ 4x-y-16=0 จาก 4x+y+16=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+y+y+16+16=0$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+y+16+16=0$$

เพิ่ม y ไปยัง y

$$2y+16+16=0$$

เพิ่ม 16 ไปยัง 16

$$2y+32=0$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-16$$

ทดแทน -16 สำหรับ y ใน 4x-y-16=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-\left(-16\right)-16=0$$

คูณ -1 ด้วย -16

$$4x+16-16=0$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -16

$$4x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=-16$$